5.已知數(shù)列{an}的首項a1=1,其前n項和Sn=$\frac{(n+1){a}_{n}}{2}$.則(1-$\frac{1}{{S}_{2}}$)(1-$\frac{1}{{S}_{3}}$)(1-$\frac{1}{{S}_{4}}$)…(1-$\frac{1}{{S}_{2016}}$)的值為( 。
A.$\frac{2015}{3024}$B.$\frac{2015}{4032}$C.$\frac{1009}{2016}$D.$\frac{1009}{3024}$

分析 分類討論,當n≥2時,Sn=$\frac{(n+1){a}_{n}}{2}$=$\frac{(n+1)}{2}$(Sn-Sn-1),從而可得$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$,從而化簡∴(1-$\frac{1}{{S}_{2}}$)(1-$\frac{1}{{S}_{3}}$)(1-$\frac{1}{{S}_{4}}$)…(1-$\frac{1}{{S}_{2016}}$)=$\frac{4×1}{2×3}$•$\frac{5×2}{3×4}$•$\frac{6×3}{4×5}$•$\frac{7×4}{5×6}$•…•$\frac{(n+2)(n-1)}{n(n+1)}$•…•$\frac{2018×2015}{2016×2017}$,從而解得.

解答 解:當n=1時,S1=a1=1,
當n≥2時,Sn=$\frac{(n+1){a}_{n}}{2}$=$\frac{(n+1)}{2}$(Sn-Sn-1),
∴$\frac{(n+1)}{2}$Sn-1=$\frac{n-1}{2}$Sn
∵$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$,
∴Sn=1•$\frac{3}{1}$•$\frac{4}{2}$•$\frac{5}{3}$•$\frac{6}{4}$•$\frac{7}{5}$•…•$\frac{n+1}{n-1}$=$\frac{n(n+1)}{2}$,
∴1-$\frac{1}{{s}_{n}}$=1-$\frac{2}{n(n+1)}$=$\frac{(n+2)(n-1)}{n(n+1)}$,
∴(1-$\frac{1}{{S}_{2}}$)(1-$\frac{1}{{S}_{3}}$)(1-$\frac{1}{{S}_{4}}$)…(1-$\frac{1}{{S}_{2016}}$)
=$\frac{4×1}{2×3}$•$\frac{5×2}{3×4}$•$\frac{6×3}{4×5}$•$\frac{7×4}{5×6}$•…•$\frac{(n+2)(n-1)}{n(n+1)}$•…•$\frac{2018×2015}{2016×2017}$
=$\frac{2016+2}{3×2016}$=$\frac{1009}{3024}$,
故選:D.

點評 本題考查了分類討論的思想應用及疊乘法的應用.

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