Question

9．設(shè)x、y、z是三個不全為零的實數(shù)，求$\frac{xy+2yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$的最大值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由于求的是最大值，可設(shè)x，y，z＞0，由x²+my²≥2$\sqrt{m}$xy，（0＜m＜1，x=$\sqrt{m}$y取得等號），由（1-m）y²+z²≥2$\sqrt{1-m}$yz（z=$\sqrt{1-m}$y取得等號），當(dāng)2$\sqrt{m}$=$\sqrt{1-m}$即m=$\frac{1}{5}$時，對分母運用基本不等式，化簡整理，即可得到最大值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

解答 解：由于求的是最大值，可設(shè)x，y，z＞0，
由x²+my²≥2$\sqrt{m}$xy，（0＜m＜1，x=$\sqrt{m}$y取得等號），
由（1-m）y²+z²≥2$\sqrt{1-m}$yz（z=$\sqrt{1-m}$y取得等號），
當(dāng)2$\sqrt{m}$=$\sqrt{1-m}$即m=$\frac{1}{5}$時，
$\frac{xy+2yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=$\frac{xy+2yz}{（{x}^{2}+\frac{1}{5}{y}^{2}）+（\frac{4}{5}{y}^{2}+{z}^{2}）}$≤$\frac{xy+2yz}{\frac{2\sqrt{5}}{5}xy+\frac{4\sqrt{5}}{5}yz}$
=$\frac{5}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)2x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y=z時，取得最大值，且為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，運用待定系數(shù)法求得m，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．