Question

2．已知函數(shù)f（x）對(duì)定義域R內(nèi)的任意x都有f（x）=f（4-x），且當(dāng)x≠2時(shí)其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x）若2＜a＜4則（　　）

• A． f（2^a）＜f（3）＜f（log₂a）
• B． f（log${\;}_{2}a）＜f（3）＜f（{2}^{a}）$＜f（3）＜f（2^a）
• C． f（3）$＜f（lo{g}_{2}a）＜f（{2}^{a}）$
• D． f（log${{\;}_{2}}^{a}$）＜f（2^a）＜f（3）

Answer 1

分析 由f（x）=f（4-x），可知函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（-∞，2）與（2，+∞）上的單調(diào)性，從而可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）對(duì)定義域R內(nèi)的任意x都有f（x）=f（4-x），
∴f（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
又當(dāng)x≠2時(shí)其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x）?f′（x）（x-2）＞0，
∴當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)遞增；
同理可得，當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）在（-∞，2）單調(diào)遞減；
∵2＜a＜4，
∴1＜log₂a＜2，
∴2＜4-log₂a＜3，又4＜2^a＜16，f（log₂a）=f（4-log₂a），f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)遞增；
∴f（log₂a）＜f（3）＜f（2^a）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，判斷f（x）在（-∞，2）與（2，+∞）上的單調(diào)性是關(guān)鍵，屬于中檔題．