Question

3．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AC=BC，M，N分別是棱CC₁，AB的中點．
（1）求證：CN⊥平面ABB₁A₁；
（2）求證：CN∥平面AMB₁．

Answer 1

分析 （1）證明AA₁⊥CN，CN⊥AB，即可證明CN⊥平面ABB₁A₁；
（2）設AB₁的中點為P，連接NP、MP，利用三角形中位線的性質(zhì)，可得線線平行，利用線面平行的判定，可得CN∥平面AMB₁．

解答 證明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，CN?平面ABC，
∴AA₁⊥CN，
∵AC=BC，N是棱AB的中點，
∴CN⊥AB，
∵AA₁∩AB=A，
∴CN⊥平面ABB₁A₁；
（2）設AB₁的中點為P，連接NP、MP
∵M、N分別是棱CC₁、AB的中點
∴CM∥$\frac{1}{2}$AA₁，且CM=$\frac{1}{2}$AA₁，NP∥$\frac{1}{2}$AA₁，且NP=$\frac{1}{2}$AA₁，
∴CM∥NP，CM=NP
∴CNPM是平行四邊形，∴CN∥MP
∵CN?平面AMB₁，MP?平面AMB₁，
∴CN∥平面AMB₁．

點評 本題考查線面平行與垂直，解題的關(guān)鍵是正確運用線面平行與垂直的判定方法，屬于中檔題．