Question

8．已知f（x）=2sinx（cosx+$\sqrt{3}$sinx）．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；
（2）在△ABC中，C=$\frac{π}{3}$且c=$\sqrt{3}$，若x=B時(shí)，f（x）取得最大值，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)可得函數(shù)解析式f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，利用周期公式可求最小正周期，由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，（k∈Z），解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由題意可得：f（B）=2+$\sqrt{3}$，解得：B，A，由正弦定理可得a，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=2sinx（cosx+$\sqrt{3}$sinx）
=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$sin²x
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，（k∈Z），解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[k$π-\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，（k∈Z）．
（2）∵由題意可得：f（B）=2sin（2B-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$=2+$\sqrt{3}$，即：sin（2B-$\frac{π}{3}$）=1，
∴2B-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解得：B=$\frac{5π}{12}$，
∵C=$\frac{π}{3}$且c=$\sqrt{3}$，
∴A=π-B-C=$\frac{π}{4}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{sin\frac{5π}{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，解得：a=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}×$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．