16.設(shè)函數(shù)f(x)=$\frac{{a}^{2x}-(t-1)}{{a}^{x}}$(a>0且a≠1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).
(1)求t的值;
(2)若f(1)>0,求使不等式f(kx-x2)+f(x-1)<0對一切x∈R恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(1,$\frac{3}{2}$),是否存在正數(shù)m,且m≠1使函數(shù)g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1,log23]上的最大值為0,若存在,求出m的值,若不存在,請說明理由.

分析 (1)由奇函數(shù)的性質(zhì)可知f(0)=0,得出t=2;
(2)由f(1)>0得$a-\frac{1}{a}>0$又a>0,求出a>1,判斷函數(shù)的單調(diào)性f(x)=ax-a-x為R上的增函數(shù),不等式整理為x2-(k+1)x+1>0對一切x∈R恒成立,利用判別式法求解即可;
(3)把點(diǎn)代入求出a=2,假設(shè)存在正數(shù)m,構(gòu)造函數(shù)設(shè)t=2x-2-x則(2x-2-x2-m(2x-2-x)+2=t2-mt+2,對底數(shù)m進(jìn)行分類討論,判斷m的值.

解答 (1)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)
∴f(0)=0,
∴t=2;
(2)由(1)得f(x)=ax-a-x,
∵f(1)>0得$a-\frac{1}{a}>0$又a>0
∴a>1,
由f(kx-x2)+f(x-1)<0得f(kx-x2)<-f(x-1),
∵f(x)為奇函數(shù),
∴f(kx-x2)<f(1-x),
∵a>1∴f(x)=ax-a-x為R上的增函數(shù),
∴kx-x2<1-x對一切x∈R恒成立,即x2-(k+1)x+1>0對一切x∈R恒成立
故△=(k+1)2-4<0解得-3<k<1
(3)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(1,$\frac{3}{2}$),
∴a=2,假設(shè)存在正數(shù)m,且m≠1符合題意,由a=2得$g(x)={log_m}[{a^{2x}}+{a^{-2x}}-mf(x)]$=${log_m}[{2^{2x}}+{2^{-2x}}-m({2^x}-{2^{-x}})]$=${log_m}[{({2^x}-{2^{-x}})^2}-m({2^x}-{2^{-x}})+2]$
設(shè)t=2x-2-x則(2x-2-x2-m(2x-2-x)+2=t2-mt+2,
∵x∈[1,log23],
∴$t∈[\frac{3}{2},\frac{8}{3}]$記h(t)=t2-mt+2,
∵函數(shù)$g(x)={log_m}[{a^{2x}}+{a^{-2x}}-mf(x)]$在[1,log23]上的最大值為0,
∴(ⅰ)若0<m<1時(shí),則函數(shù)h(t)=t2-mt+2在$[\frac{3}{2},\frac{8}{3}]$有最小值為1
由于對稱軸$t=\frac{m}{2}<\frac{1}{2}$∴${h_{min}}(t)=h(\frac{3}{2})=\frac{17}{4}-\frac{3}{2}m=1$$⇒m=\frac{13}{6}$,不合題意
(ⅱ)若m>1時(shí),則函數(shù)h(t)=t2-mt+2>0在$[\frac{3}{2},\frac{8}{3}]$上恒成立,且最大值為1,最小值大于0
①$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}<\frac{m}{2}≤\frac{25}{12}\\ h{(t)_{max}}=h(\frac{8}{3})=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}1<m≤\frac{25}{6}\\ m=\frac{73}{24}\end{array}\right.⇒m=\frac{73}{24}$
又此時(shí)$\frac{m}{2}=\frac{73}{48}∈[{\frac{3}{2},\frac{8}{3}}]$,$又h{(t)_{min}}=h(\frac{73}{48})<0$
故g(x)在[1,log23]無意義
所以$m=\frac{73}{24}應(yīng)舍去$
②$\left\{\begin{array}{l}\frac{m}{2}>\frac{25}{12}\\ h{(t)_{max}}=h(\frac{3}{2})=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}m>\frac{25}{6}\\ m=\frac{13}{6}\end{array}\right.⇒m$無解,
綜上所述:故不存在正數(shù)m,使函數(shù)$g(x)={log_m}[{a^{2x}}+{a^{-2x}}-mf(x)]$在[1,log23]上的最大值為0.

點(diǎn)評(píng) 考查了奇函數(shù)的性質(zhì),利用奇函數(shù)的性質(zhì)整理不等式,利用構(gòu)造函數(shù),用分類討論的方法解決實(shí)際問題.

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