Question

6．已知x，y滿足條件：$\left\{\begin{array}{l}7x-5y-23≤0\\ x+7y-11≤0\\ 4x+y+10≥0\end{array}\right.$，求：
（1）4x-3y的最小值；
（2）$\frac{x-y+1}{x+5}$的取值范圍．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，進行求最值即可．

解答 解：（1）不等式組$\left\{\begin{array}{l}7x-5y-23≤0\\ x+7y-11≤0\\ 4x+y+10≥0\end{array}\right.$表示的公共區(qū)域如圖所示：
其中A（4，1）、B（-1，-6）、C（-3，2），
設z=4x-3y，則y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{z}{3}$，平移直線y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{z}{3}$，
由圖象可知當直線y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{z}{3}$過C點時，直線的截距最大，此時z取得最小值，
將C（-3，2），代入z=4x-3y得最小值，
即z的最小值z=4×（-3）-3×2=-18．
（2）$\frac{x-y+1}{x+5}$=$\frac{x+5-（y+4）}{x+5}$=1-$\frac{y+4}{x+5}$，
設k=$\frac{y+4}{x+5}$，則k的幾何意義是動點（x，y）到定點D（-5，-4）的斜率，
而K_CD=$\frac{-4-2}{-5+3}$=3，K_BD=$\frac{-4+6}{-5+1}$=-$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤k≤3，
∴-2≤1-k≤$\frac{3}{2}$，
即$\frac{x-y+1}{x+5}$的取值范圍是[-2，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應用，利用目標函數(shù)的幾何意義是解決問題的關鍵，利用數(shù)形結合是解決問題的基本方法．