Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3ax²+3（2-a）x，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若y=f（x）的圖象與x軸相切于原點(diǎn)，當(dāng)0＜x₂＜x₁，f（x₁）=f（x₂），求證：x₁+x₂＜8．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)f′（x）=3x²-6ax+3（2-a），再確定△=36（a²+a-2）=36（a+2）（a-1）；從而以△討論單調(diào)區(qū)間即可；
（2）令f′（0）=3×0²-6a•0+3（2-a）=0可求得a=2；從而化簡(jiǎn)f（x）=x³-6x²，從而可知f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（4，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（0，4）；再由f（x₁）=f（x₂），且0＜x₂＜x₁，得到不等式組，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6ax+3（2-a），
△=36（a²+a-2）=36（a+2）（a-1）；
①當(dāng)a＜-2或a＞1時(shí)，
由f′（x）=3x²-6ax+3（2-a）=0解得，
x=a±$\sqrt{{a}^{2}+a-2}$；
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，a-$\sqrt{{a}^{2}+a-2}$），（a+$\sqrt{{a}^{2}+a-2}$，+∞）；
②當(dāng)-2≤a≤1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；
（2）證明：令f′（0）=3×0²-6a•0+3（2-a）=0得a=2；
故f（x）=x³-6x²，
由（1）知，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（4，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（0，4）；
∵f（x₁）=f（x₂），且0＜x₂＜x₁，
∴0＜x₂＜4，x₁＞4，
∴8-x₂＞4，
而f（x₂）-f（8-x₂）
=${{x}_{2}}^{3}$-6${{x}_{2}}^{2}$-[${（8{-x}_{2}）}^{3}$-6${（8{-x}_{2}）}^{2}$]
=2（x₂-4）${{（x}_{2}-4）}^{2}$＜0，
∴f（x₁）=f（x₂）＜f（8-x₂），
∵函數(shù)f（x）在（4，+∞）遞增，
∴x₁＜8-x₂，
∴x₁+x₂＜8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，二次方程的根及單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題