Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）設(shè)a≥1，函數(shù)g（x）=x²-3ax+2a²-5，若對(duì)于任意x₀∈（0，1），總存在x₁∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）由題意只需g（x）的值域是函數(shù)f（x）值域的子集即可．注意它們的定義域都是（0，1）．

解答 解：（1）顯然函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
且f′（x）=$\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$．
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，0＜x＜1，當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，x＞1．
故f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．且f（x）_極大=f（1）=0，無(wú)極小值．
（2）由已知得g（x）=（x-$\frac{3a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}-5$．因?yàn)閍≥1，所以$\frac{3a}{2}≥\frac{3}{2}$．
所以函數(shù)g（x）在（0，1）上遞減，故此時(shí)g（x）的值域?yàn)椋?a²-3a-4，2a²-5），
由（1）知函數(shù)f（x）在（0，1）上遞增，且x→0時(shí)，lnx→-∞，f（1）=0．
所以此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋?∞，0]．
所以由題意可知：2a²-3a-4＜2a²-5≤0．結(jié)合a≥1
解得1$≤a≤\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及有恒成立問(wèn)題的解題思路．屬于中檔題．