Question

6．已知關(guān)于x的一元二次不等式ax²+2x+b＞0的解集為{x|x≠c}，則$\frac{{{a^2}+{b^2}+7}}{a+c}$（其中a+c≠0）的取值范圍為（-∞，-6]∪[6，+∞）．

Answer 1

分析 由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得ac=-1，ab=1，再根據(jù)則$\frac{{{a^2}+{b^2}+7}}{a+c}$=（a-b）+$\frac{9}{a-b}$，利用基本不等式求得它的范圍．

解答 解：根據(jù)關(guān)于x的一元二次不等式ax²+2x+b＞0的解集為{x|x≠c}，
可得a＞0，對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象的對稱軸為x=-$\frac{1}{a}$=c，△=4-4ab=0，∴ac=-1，ab=1，∴c=-$\frac{1}{a}$，b=$\frac{1}{a}$．
則$\frac{{{a^2}+{b^2}+7}}{a+c}$=$\frac{{（a-b）}^{2}+9}{a-b}$=（a-b）+$\frac{9}{a-b}$，
當(dāng)a-b＞0時(shí)，由基本不等式求得（a-b）+$\frac{9}{a-b}$≥6，
當(dāng)a-b＜0時(shí)，由基本不等式求得-（a-b）-$\frac{9}{a-b}$≥6，即（a-b）+$\frac{9}{a-b}$≤-6
故$\frac{{{a^2}+{b^2}+7}}{a+c}$（其中a+c≠0）的取值范圍為：（-∞，-6]∪[6，+∞），
故答案為：（-∞，-6]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．