Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)于n∈N^*，都有a${\;}_{1}^{3}$+a${\;}_{2}^{3}$+a${\;}_{3}^{3}$+…+a${\;}_{n}^{3}$=S${\;}_{n}^{2}$，其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求a₂；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•${2^{a_n}}$（λ為非零常數(shù)），問是否存在整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）依次令n=1，2，列方程求出a₁，a₂即可；
（2）根據(jù)已知條件得出S_n-1²，與已知式子相減得出數(shù)列遞推式，從而判斷{a_n}為等差數(shù)列，即可得出通項(xiàng)公式；
（3）令b_n+1-b_n＞0，解出λ的范圍即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵a${\;}_{1}^{3}$+a${\;}_{2}^{3}$+a${\;}_{3}^{3}$+…+a${\;}_{n}^{3}$=S${\;}_{n}^{2}$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁³=a₁²，又a₁＞0，∴a₁=1．
當(dāng)n=2時(shí)，a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，即1+a₂³=（1+a₂）²，
∴a₂³-a₂²-2a₂=0，∵a₂≠0，∴a₂²-a₂-2=0，
又a₂＞0，∴a₂=2．
（2）∵a${\;}_{1}^{3}$+a${\;}_{2}^{3}$+a${\;}_{3}^{3}$+…+a${\;}_{n}^{3}$=S${\;}_{n}^{2}$，
∴a${\;}_{1}^{3}$+a${\;}_{2}^{3}$+a${\;}_{3}^{3}$+…+a${\;}_{n}^{3}$_-1=S${\;}_{n}^{2}$_-1，
兩式相減得a_n³=S_n²-S_n-1²=a_n（2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n）=a_n（2S_n-a_n），
∴a_n²=2S_n-a_n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1，
兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2a_n+a_n-1-a_n=a_n+a_n-1，
∵a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1，
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（3）b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•λ2ⁿ，
∴b_n+1-b_n=[3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•λ2ⁿ⁺¹]-[3ⁿ+（-1）^n-1•λ2ⁿ]=2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ．
令b_n+1-b_n＞0，即2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ＞0，
∴（-1）^n-1•λ＜（$\frac{3}{2}$）^n-1，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，λ＜（$\frac{3}{2}$）^n-1恒成立，∴λ＜1，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，λ＞-（$\frac{3}{2}$）^n-1，恒成立，∴λ＞-$\frac{3}{2}$，
∴-$\frac{3}{2}＜λ＜1$．
∵λ≠0，
∴存在整數(shù)λ=-1，使得對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題．