Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$，（其中m、n為參數(shù)）．
（1）當(dāng)m=n=1時，證明：f（x）不是奇函數(shù)；
（2）如果m=1，n=2，判斷f（x）的單調(diào)性并給予證明．
（3）在（2）的條件下，求不等式f（f（x））+f（$\frac{1}{4}$）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=1，n=1時，函數(shù)f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x+1}}$，可得f（-x）≠-f（x），從而得出結(jié)論．
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，根據(jù)f（x₁）-f（x₂）＞0，可得函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
（3）不等式即 f（f（x））＜-f（$\frac{1}{4}$）=f（-$\frac{1}{4}$），結(jié)合 函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，可得f（x）＞-$\frac{1}{4}$，即得2^x＜3，由此求得x的范圍．

解答 解：（1）證明：當(dāng)m=1，n=1時，函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x+1}}$，
f（-x）=$\frac{1{-2}^{-x}}{1{+2}^{1-x}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+2}$，顯然，f（-x）≠-f（x），
∵m=1，n=1時，函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)．
（2）由m=1，n=2，得 函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$=$\frac{1{-2}^{x}}{2（1{+2}^{x}）}$=$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{{1+2}^{x}}$），
設(shè)x₁，x₂∈R，則f（x）在R上遞減．
下面給予證明：
設(shè)任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，∵$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{2}[\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}]$=$\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$＞0，
所以，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
（3）由m=1，n=2時，f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{2（1{+2}^{x}）}$，滿足f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函數(shù)．
又∵f（f（x））+f（$\frac{1}{4}$）＜0，∴f（f（x））＜-f（$\frac{1}{4}$）=f（-$\frac{1}{4}$）．
∵函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，∴f（x）＞-$\frac{1}{4}$，求得2^x＜3，x＜log₂3，
即f（x）＞0 的解集為（-∞，log₂3）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．