Question

6．設函數f（x）=|e^x-a|+|$\frac{1}{e^x}$-1|，其中a，x∈R，e是自然對數的底數，e=2.71828…
（Ⅰ）當a=0時，解不等式f（x）＜2；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅲ）設a≥$\frac{4}{3}$，討論關于x的方程f（f（x））=$\frac{1}{4}$的解的個數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=0代入不等式，得到關于x的不等式組，解出即可；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，求出f（x）的分段函數，從而求出函數的單調區(qū)間；
（Ⅲ）先求出函數的值域，結合換元法以及a的范圍，求出方程的解即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=0時，不等式f（x）＜2，即：${e^x}+|{\frac{1}{e^x}-1}|＜2$，
即$|{\frac{1}{e^x}-1}|＜2-{e^x}$，因此$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{e^x}-1＞{e^x}-2\\ \frac{1}{e^x}-1＜2-{e^x}\end{array}\right.$…（2分）
得$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}＜{e^x}＜\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$，所以$ln\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}＜x＜ln\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$，
所以原不等式的解集為$（ln\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}，ln\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}）$．…（4分）
（Ⅱ）①當a≤0時，$f（x）={e^x}-a+|{\frac{1}{e^x}-1}|=\left\{\begin{array}{l}{e^x}-\frac{1}{e^x}-a+1，x≥0\\{e^x}+\frac{1}{e^x}-a-1，x＜0.\end{array}\right.$
因為x＞0時，$f'（x）={e^x}+\frac{1}{e^x}＞0$，x＜0時，$f（x）={e^x}-\frac{1}{e^x}＜0$，
故f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增；…（5分）
②當0＜a＜1時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}-\frac{1}{e^x}-a+1，x≥0\\{e^x}+\frac{1}{e^x}-a-1，lna＜x＜0\\-{e^x}+\frac{1}{e^x}+a-1，x≤lna.\end{array}\right.$，
仿①得f（x）在（-∞，lna）和（lna，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
即f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增；（6分）
③當a=1時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}-\frac{1}{e^x}，x≥0\\ \frac{1}{e^x}-{e^x}，x＜0\end{array}\right.$
易得f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增；    …（7分）
④當a＞1時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}-\frac{1}{e^x}-a+1，x≥lna\\-{e^x}-\frac{1}{e^x}+a+1，0＜x＜lna\\-{e^x}+\frac{1}{e^x}+a-1，x≤0.\end{array}\right.$
同理得f（x）在區(qū)間（-∞，lna）上單調遞減，在區(qū)間（lna，+∞）上單調遞增．…（8分）
綜上所述，
當a≤1時，f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增；
當a＞1時，f（x）在區(qū)間（-∞，lna）上單調遞減，在區(qū)間（lna，+∞）上單調遞增．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：當$a≥\frac{4}{3}$時，因為$f（lna）={e^{lna}}-\frac{1}{{{e^{lna}}}}-a+1=1-\frac{1}{a}$，
又x→+∞時，${e^x}-\frac{1}{e^x}-a+1→+∞$，
所以f（x）的值域為$[1-\frac{1}{a}，+∞）$，且$1＞1-\frac{1}{a}≥\frac{1}{4}$（等號僅當$a=\frac{4}{3}$時�。�．…（12分）
令$f（x）=u，f（u）=\frac{1}{4}$，
當$a＞\frac{4}{3}$時，$f（u）＞\frac{1}{4}$，所以$f（u）=\frac{1}{4}$不成立，原方程無解；…（13分）
當$a=\frac{4}{3}$時，由$f（u）=\frac{1}{4}$得$u=ln\frac{4}{3}$，因為$ln{（\frac{4}{3}）^4}=ln\frac{256}{81}＞ln3＞1$，所以$ln\frac{4}{3}＞\frac{1}{4}$，
所以$f（x）=ln\frac{4}{3}$有兩個不相等的實數根，故原方程有兩個不同的實數解．…（15分）
綜上所述，當$a＞\frac{4}{3}$時，原方程無解；當$a=\frac{4}{3}$時，原方程有兩個不同的實數解．（16分）．

點評 本題考查了不等式的性質，考查函數的單調性以及方程的解的問題，是一道綜合題．