Question

16．已知甲箱中裝有3個(gè)紅球、3個(gè)黑球，乙箱中裝有2個(gè)紅球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同．某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，設(shè)獎(jiǎng)規(guī)則如下：每次分別從以上兩個(gè)箱中各隨機(jī)摸出2個(gè)球，共4個(gè)球．若摸出4個(gè)球都是紅球，則獲得一等獎(jiǎng)；摸出的球中有3個(gè)紅球，則獲得二等獎(jiǎng)；摸出的球中有2個(gè)紅球，則獲得三等獎(jiǎng)；其他情況不獲獎(jiǎng)．每次摸球結(jié)束后將球放回原箱中．
（1）求在1次摸獎(jiǎng)中，獲得二等獎(jiǎng)的概率；
（2）若連續(xù)摸獎(jiǎng)2次，求獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“在1次摸獎(jiǎng)中，獲得二等獎(jiǎng)”為事件A，利用互斥事件概率計(jì)算公式能求出在1次摸獎(jiǎng)中，獲得二等獎(jiǎng)的概率．
（2）設(shè)“在1次摸獎(jiǎng)中，獲獎(jiǎng)”為事件B，先求出P（B），由題意可知X的所有可能取值為0，1，2．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）設(shè)“在1次摸獎(jiǎng)中，獲得二等獎(jiǎng)”為事件A，
則P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{7}{30}$．…（4分）
（2）設(shè)“在1次摸獎(jiǎng)中，獲獎(jiǎng)”為事件B，
則獲得一等獎(jiǎng)的概率為${P}_{1}=\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{30}$，
獲得三等獎(jiǎng)的概率為P₃=$\frac{2{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{7}{15}$，
所以P（B）=$\frac{1}{30}+\frac{7}{30}+\frac{7}{15}$=$\frac{11}{15}$．…（8分）
由題意可知X的所有可能取值為0，1，2．
P（X=0）=（1-$\frac{11}{15}$）²=$\frac{16}{225}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}×\frac{11}{15}×（1-\frac{11}{15}）$=$\frac{88}{225}$，
P（X=2）=（$\frac{11}{15}$）²=$\frac{121}{225}$．
所以X的分布列是

X	0	1	2
P	$\frac{16}{225}$	$\frac{88}{225}$	$\frac{121}{225}$

所以E（X）=0×$\frac{16}{225}+1×\frac{88}{225}$+2×$\frac{121}{225}$=$\frac{22}{15}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．