Question

20．某市2015年新建住房面積為500萬m²．其中安置房面積為200萬m²．計劃以后每年新建住房面積比上一年增長10%，且安置房面積比上一年增加50萬m²．記2015年為第1年．
（1）該市幾年內(nèi)所建安置房面積之和首次不低于3000萬m²？
（2）是否存在連續(xù)兩年，每年所建安置房面積占當年新建住房面積的比例保持不變？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意得，所建安置房面積為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前n項和公式，得到答案．
（2）由題意得，新建住房面積是等比數(shù)列，兩者做比，可得比例相等時的年份．

解答 解：（1）設(shè)安置房面積形成數(shù)列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數(shù)列，
其中a₁=200，d=50，
則S_n=200n+$\frac{n（n-1）}{2}$×50=25n²+175n，
令25n²+175n≥3000
即n²+7n-120≥0，
而n是正整數(shù)，∴n≥8．
∴該市8年內(nèi)所建安置房面積之和首次不低于3000萬m²，
（2）設(shè)新建住房面積數(shù)列{b_n}，由題意可知{b_n}是等比數(shù)列，
其中b₁=500，q=1.1，
則b_n=500×1.1^n-1，
a_n=50n+150，
∴$\frac{50n+150}{500×1，{1}^{n-1}}$=$\frac{50n+200}{500×1．{1}^{n}}$，
∴1.1n+3.3=n+4，
∴n=7，
即存在連續(xù)兩年，每年所建安置房面積占當年新建住房面積的比例保持不變．

點評 本題考查等差數(shù)列的前n項和公式，等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式．