Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax在x=2處的切線l與直線2x-y-3=0垂直．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+m=2x-x²在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件可得a的方程，即可求得a的值；
（2）由題意可得即有-m=lnx-3x+x²在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．令g（x）=lnx-3x+x²，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極小值，也為最小值，再求g（$\frac{1}{2}$），可得m的不等式，即可得到m的范圍

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-ax的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
即有在x=2處的切線l的斜率為$\frac{1}{2}$-a，
由切線l與直線2x-y-3=0垂直，
即有$\frac{1}{2}-a=-\frac{1}{2}$
解得a=1；
（2）關(guān)于x的方程f（x）+m=2x-x²在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
即有-m=lnx-3x+x²在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
令g（x）=lnx-3x+x²，g′（x）=$\frac{1}{x}$-3+2x=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
易得當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
當(dāng)1＜x＜2時，g′（x）＞0，g（x）遞增．
即有x=1處g（x）取得最小值，且為-2，
又g（$\frac{1}{2}$）=-ln2-$\frac{5}{4}$，
由題意可得，-2＜-m≤-ln2-$\frac{5}{4}$
解得ln2+$\frac{5}{4}$≤m＜2．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查切線的斜率，考查單調(diào)區(qū)間、極值和最值的求解，考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．