Question

13．已知a∈R⁺，b∈[-2，$\sqrt{2}$]，則u=（b-a）²+（$\sqrt{2-^{2}}$-$\frac{9}{a}$）²的最小值為8．

Answer 1

分析 u=（b-a）²+（$\sqrt{2-^{2}}$-$\frac{9}{a}$）²表示的是兩點(diǎn)M$（b，\sqrt{2-^{2}}）$，N$（a，\frac{9}{a}）$之間的距離的平方．由于點(diǎn)M滿足：x²+y²=2，點(diǎn)N滿足：xy=9．設(shè)N$（a，\frac{9}{a}）$是曲線xy=9上的任意一點(diǎn)．則|ON|=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{9}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{6}$，即可得出M，N兩點(diǎn)之間的距離的最小值．

解答 解：u=（b-a）²+（$\sqrt{2-^{2}}$-$\frac{9}{a}$）²表示的是兩點(diǎn)M$（b，\sqrt{2-^{2}}）$，N$（a，\frac{9}{a}）$之間的距離的平方．
由于點(diǎn)M滿足：x²+y²=2，點(diǎn)N滿足：xy=9．
設(shè)N$（a，\frac{9}{a}）$是曲線xy=9上的任意一點(diǎn)．則|ON|=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{81}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{2\sqrt{{a}^{2}•\frac{81}{{a}^{2}}}}$=3$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a²=9時(shí)取等號(hào)，
∴M，N兩點(diǎn)之間的距離的最小值為2$\sqrt{2}$．
∴u=（b-a）²+（$\sqrt{2-^{2}}$-$\frac{9}{a}$）²的最小值為$（2\sqrt{2}）^{2}$=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．