Question

15．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0．b＞0）上任意一點M（非短軸的端點）與短軸的兩個端點 B₁、B₂的連線交x軸于N和K，求證：|ON|•|OK|為定值．

Answer 1

分析 設M（x₀，y₀），代入橢圓方程可得$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，變形為$^{2}{x}_{0}^{2}$=${a}^{2}（^{2}-{y}_{0}^{2}）$．直線B₁N的方程為：$y=\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}x+b$，可得N．同理可得K．即可證明．

解答 證明：設M（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，化為$^{2}{x}_{0}^{2}$=${a}^{2}（^{2}-{y}_{0}^{2}）$．
直線B₁N的方程為：$y=\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}x+b$，可得N$（\frac{b{x}_{0}}{b-{y}_{0}}，0）$．
直線B₂K的方程為：$y=\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}x-b$，可得K$（\frac{b{x}_{0}}{{y}_{0}+b}，0）$．
∴|ON|•|OK|=$\frac{b{x}_{0}}{b-{y}_{0}}$$•\frac{b{x}_{0}}{{y}_{0}+b}$=$\frac{^{2}{x}_{0}^{2}}{^{2}-{y}_{0}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}（^{2}-{y}_{0}^{2}）}{^{2}-{y}_{0}^{2}}$=a²，為定值．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．