Question

10．變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3≤0\\ 3x+5y＜25\\ x≥1\end{array}\right.$，求目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最小值和最大值．

Answer 1

分析 先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y可行域內(nèi)的點(diǎn)B時(shí)，從而得到z=2x+y的最值即可．

解答 解：如圖：作出可行域：

目標(biāo)函數(shù)：z=2x+y，則y=-2x+z
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，Z有最大值．
A點(diǎn)坐標(biāo)由方程組 $\left\{\begin{array}{l}{x-4y=-3}\\{3x+5y=25}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=2}\end{array}\right.$，
A（5，2）Z_max=2x+y=12．
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的直線過(guò)點(diǎn)B（1，1）時(shí)，
Z有最小值Z_min=2x+y=3，
故z=2x+y的最大值和最小值分別為：12；3．

點(diǎn)評(píng) 題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問(wèn)題，這類問(wèn)題一般要分三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵點(diǎn)、定出最優(yōu)解．借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線法確定．