Question

19．設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從邊長(zhǎng)為1的正方體12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ=0；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ=1；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離，則數(shù)學(xué)期望Eξ=$\frac{{6+\sqrt{2}}}{11}$．

Answer 1

分析 從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，共有${C}_{12}^{2}$種方法，若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，過(guò)任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱，共有8${C}_{3}^{2}$對(duì)相交棱，兩條棱平行，則它們的距離為1或$\sqrt{2}$，其中距離為$\sqrt{2}$的共有6對(duì)，由此能求出數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，過(guò)任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱，
∴共有8${C}_{3}^{2}$對(duì)相交棱，
∴P（ξ=0）=$\frac{8{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{4}{11}$，
若兩條棱平行，則它們的距離為1或$\sqrt{2}$，其中距離為$\sqrt{2}$的共有6對(duì)，
∴P（ξ=$\sqrt{2}$）=$\frac{6}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{1}{11}$，
P（ξ=1）=1-P（ξ=0）-P（ξ=$\sqrt{2}$）=$\frac{6}{11}$，
∴隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）=1×$\frac{1}{11}$+$\sqrt{2}$×$\frac{6}{11}$=$\frac{{6+\sqrt{2}}}{11}$．
故答案為：$\frac{{6+\sqrt{2}}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間幾何體的性質(zhì)的合理運(yùn)用．