Question

20．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：4S_n=（a_n-1）（a_n+3），（n∈N^*）
（1）求a_n；
（2）若b_n=2ⁿ•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）分類討論，可判斷出數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，從而求a_n；
（2）化簡b_n=2ⁿ•a_n=（2n+1）2ⁿ，從而利用錯位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，從而解得．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，
4a₁=（a₁-1）（a₁+3），
解得，a₁=3或a₁=-1（舍去）；
當(dāng)n≥2時，4S_n=（a_n-1）（a_n+3），
4S_n+1=（a_n+1-1）（a_n+1+3），
兩式作差可得，
4a_n+1=（a_n+1-1）（a_n+1+3）-（a_n-1）（a_n+3），
即（a_n+a_n+1）（a_n+1-a_n-2）=0，
故a_n+1=a_n+2，
故數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
故a_n=2n+1；
（2）故b_n=2ⁿ•a_n=（2n+1）2ⁿ，
故T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）2ⁿ，
2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹，
故T_n=-6-2×2²-2×2³-2×2⁴-…-2ⁿ⁺¹+（2n+1）2ⁿ⁺¹，
=（2n+1）2ⁿ⁺¹-（2+4+8+16+…+2ⁿ⁺¹）
=（2n+1）2ⁿ⁺¹-$\frac{2（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$
=（n-1）2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評 本題考查了學(xué)生的化簡運(yùn)算能力及錯位相減法的應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．