Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$．?dāng)?shù)列a₁，a₂，a${\;}_{_{1}}$，a${\;}_{_{2}}$，a${\;}_{_{3}}$，…，a${\;}_{_{n}}$，…成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，從而可得a_n=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a₁=1，a₂=2，a${\;}_{_{n}}$=b_n，從而可得1，2，b₁，b₂，…，b_n成等比數(shù)列，從而解得．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴a_n=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a₁=1，a₂=2，a${\;}_{_{n}}$=b_n，
故1，2，b₁，b₂，…，b_n成等比數(shù)列，
故b₁=4，q=2，
故b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
故S_n=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$=4（2ⁿ-1）．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的判斷與應(yīng)用．