Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥AD且2BC=AD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．
（1）求證：平面PBC⊥平面PAB；
（2）若平面PAB∩平面PCD=l，求證：直線l不平行于平面ABCD．（用反證法證明）

Answer 1

分析 （1）自P作PH⊥AB于H，由平面PAB⊥平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD．于是BC⊥PH．又BC⊥PB，可得BC⊥平面PAB，即可證明平面PBC⊥平面PAB；
（2）利用反證法，證明AB∥CD，即四邊形ABCD為平行四邊形，得到矛盾即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：自P作PH⊥AB于H，
因為平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，PH?平面PAB，
所以PH⊥平面ABCD．
因為BC?平面ABCD，
所以BC⊥PH．
因為∠PBC=90°，
所以BC⊥PB，
而∠PBA≠90°，于是點H與B不重合，即PB∩PH=P．
因為PB，PH?平面PAB，
所以BC⊥平面PAB．
因為BC?平面PBC，
故平面PBC⊥平面PAB；
（2）不平行，
反證法：
假設(shè)直線l平行于平面ABCD，
由于l?平面PCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴l(xiāng)∥CD，
同理可得l∥AB，
即AB∥CD，
∵BC∥AD，
∴四邊形ABCD為梯形，
則AD=BC，與2BC=AD矛盾，
故假設(shè)不成立，
即直線l不平行于平面ABCD．

點評 本題主要考查面面垂直和線面平行的判定，要求熟練掌握相應的判定定理．