Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+2（a為常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）當(dāng)a∈R時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＜0．
（Ⅲ）若對(duì)于任意x∈[2，3]，總有f（x）＞0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1時(shí)，x²-3x+2＜0，解得即可，
（Ⅱ）原不等式等價(jià)為（ax-2）（x-1）＜0．對(duì)a經(jīng)行分類討論，即可求出不等式的解集．
（Ⅲ）對(duì)于任意x∈[2，3]，總有f（x）＞0成立，轉(zhuǎn)化為a（x²-x）-2x+2＞0，在x∈[2，3]上恒成立，構(gòu)造關(guān)于a的函數(shù)g（a）=a（x²-x）-2x+2，則g（a）為增函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可

解答 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，x²-3x+2＜0，解得1＜x＜2，故不等式的解集為（1，2）
（Ⅱ）x的不等式f（x）＜0等價(jià)為（ax-2）（x-1）＜0．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，原不等式為-（x-1）＜0，解得x＞1．即原不等式的解集為（1，+∞）．
（2）若a＞0，則原不等式可化為（x-$\frac{2}{a}$）（x-1）＜0，
對(duì)應(yīng)方程的根為x=1或x=$\frac{2}{a}$．
當(dāng)$\frac{2}{a}$＞1，即0＜a＜2時(shí)，不等式的解為1＜x＜$\frac{2}{a}$．
當(dāng)a=2時(shí)，不等式的解集為空集．
當(dāng)$\frac{2}{a}$＜1，即a＞2時(shí)，不等式的解為$\frac{2}{a}$＜x＜1．
（3）若a＜0，則原不等式可化為（x-$\frac{2}{a}$）（x-1）＞0，
所以$\frac{2}{a}$＜1，所以不等式的解為x＞1或x＜$\frac{2}{a}$．
綜上：（1）當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為（1，+∞）．
（2）0＜a＜2時(shí)，不等式的解集為（1，$\frac{2}{a}$）．
當(dāng)a=2時(shí)，不等式的解集為空集．
當(dāng)a＞2時(shí)，不等式的解集為（$\frac{2}{a}$，1）．
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為（-∞，$\frac{2}{a}$）∪（1，+∞）；
（Ⅲ）對(duì)于任意x∈[2，3]，總有f（x）＞0成立，
∴ax²-（a+2）x+2＞0，在x∈[2，3]上恒成立，
∴a（x²-x）-2x+2＞0，在x∈[2，3]上恒成立，
設(shè)g（a）=a（x²-x）-2x+2，則g（a）為增函數(shù)，
∴g（a）_min=a（2²-2）-2×2+2＞0，
解得a＞$\frac{1}{2}$，
故a的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用分類討論法解含有字母系數(shù)的不等式的問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，求出各種情況的不等式的解集，再綜合在一起，是易錯(cuò)題．