Question

10．（重點中學做）已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），若雙曲線C在第一象限內(nèi)存在一點P使$\frac{a}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{c}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$成立，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． 1，$\sqrt{3}$+1）
• B． （1，$\sqrt{2}$+1）
• C． （$\sqrt{2}$+1，+∞）
• D． （1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1）

Answer 1

分析 在△PF₁F₂中，運用正弦定理，結(jié)合條件由離心率公式可得|PF₁|=e|PF₂|，再由雙曲線的定義，可得2a=|PF₁|-|PF₂|=（e-1）|PF₂|，由存在P，可得|PF₂|＞c-a，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：在△PF₁F₂中，可得$\frac{|P{F}_{1}|}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{|P{F}_{2}|}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$，
由$\frac{a}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{c}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$，可得
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$，
即有|PF₁|=e|PF₂|，
由雙曲線的定義可得2a=|PF₁|-|PF₂|=（e-1）|PF₂|，
由存在P，可得|PF₂|＞c-a，
即有2a＞（e-1）（c-a），
由e=$\frac{c}{a}$，可得（e-1）²＜2，
解得1＜e＜1+$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查離心率的范圍，注意運用正弦定理和雙曲線的定義、以及雙曲線的點到焦點的距離的最小值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．