Question

若橢圓C₁：＋＝1(0<b<2)的離心率等于，拋物線C₂：x²＝2py(p>0)的焦點(diǎn)在橢圓C₁的頂點(diǎn)上．

(1)求拋物線C₂的方程；

(2)若過(guò)M(－1,0)的直線l與拋物線C₂交于E、F兩點(diǎn)，又過(guò)E、F作拋物線C₂的切線l₁、l₂，當(dāng)l₁⊥l₂時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

 (1)已知橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a＝2，半焦距c＝，

由離心率e＝＝＝得，b²＝1.

∴橢圓的上頂點(diǎn)為(0,1)，即拋物線的焦點(diǎn)為(0,1)，

∴p＝2，拋物線的方程為x²＝4y.

(2)由題知直線l的斜率存在且不為零，則可設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)，

∵y＝x²，∴y′＝x，

∴切線l₁、l₂的斜率分別為x₁、x₂，

當(dāng)l₁⊥l₂時(shí)，x₁·x₂＝－1，即x₁·x₂＝－4，

由得x²－4kx－4k＝0，

由Δ＝(－4k)²－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.

又x₁·x₂＝－4k＝－4，得k＝1.

∴直線l的方程為y＝x＋1.