Question

14．已知a＞0，b＞0，c＞0，若函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值為2．
（1）求a+b+c的值；
（2）求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，注意等號(hào)成立的條件，即可求得最小值；
（2）根據(jù)a+b+c=2得到$\frac{a+b+c}{2}$=1，從而得到$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{a+b+c}{2a}$$+\frac{a+b+c}{2b}$+$\frac{a+b+c}{2c}$，根據(jù)級(jí)別不等式的性質(zhì)求出最小值即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=|x+a|+|x-b|+c≥|（x+a）-（x-b）|+c=|a+b|+c，
當(dāng)且僅當(dāng)-a≤x≤b時(shí)，等號(hào)成立，
又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，
所以f（x）的最小值為a+b+c，
所以a+b+c=2；
（2）由（1）知a+b+c=2，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$
=$\frac{a+b+c}{2a}$$+\frac{a+b+c}{2b}$+$\frac{a+b+c}{2c}$
=$\frac{1}{2}$$+\frac{2a}$+$\frac{c}{2a}$+$\frac{a}{2b}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{c}{2b}$+$\frac{a}{2c}$+$\frac{2c}$+$\frac{1}{2}$
≥2$\sqrt{\frac{2a}•\frac{a}{2b}}$+2$\sqrt{\frac{c}{2a}•\frac{a}{2c}}$+2$\sqrt{\frac{c}{2b}•\frac{2c}}$+$\frac{3}{2}$
=1+1+1+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$的最小值是$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式、基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．