Question

9．已知點P在雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{16}$=1的右支上，F(xiàn)為雙曲線的左焦點，Q為線段PF的中點，O為坐標原點，若|OQ|的最小值為1，則雙曲線的離心率為$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 取F'為雙曲線的右焦點，連接PF'，由OQ為△PFF'的中位線，即有OQ=$\frac{1}{2}$PF'，由題意可得|PF'|的最小值為1，由PF'的最小值為c-a，解方程可得a=3，求出c=5，由離心率公式即可得到所求值．

解答 解：取F'為雙曲線的右焦點，連接PF'，
由OQ為△PFF'的中位線，即有OQ=$\frac{1}{2}$PF'，
由題意可得|PF'|的最小值為1，
由PF'的最小值為c-a=$\sqrt{{a}^{2}+16}$-a，
即有$\sqrt{{a}^{2}+16}$-a=1，
解得a=3，
可得雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
即有c=$\sqrt{9+16}$=5，
可得離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
故答案為：$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，考查定義法的運用，考查中位線定理和化簡運算的能力，屬于中檔題．