Question

18．如圖．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是B₁C₁，C₁D₁上的點，G，H分別是BC，CD上的點．
（1）若EF分別是B₁C₁，C₁D₁的中點，證明：四邊形BEFD為等腰梯形；
（2）若C₁E=CG，C₁F=CH，證明：四邊形EFHG為矩形；
（3）該長方體的三個面的對角線長分別為a，b，c，求長方體對角線AC₁的長．

Answer 1

分析 （1）由中位線定理可得EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$B₁D₁，而B₁D₁=BD，推出四邊形BEFD為梯形，再由三角形全都得出兩腰相等；
（2）由C₁E=CG，C₁E∥CG，可證四邊形C₁CGE是矩形，于是EG$\underset{∥}{=}$C₁C，同理：FH$\underset{∥}{=}$C₁C，則四邊形EFHG為平行四邊形，由C₁C⊥平面ABCD可得C₁C⊥HG，故EG⊥HG，得出結論；
（3）設出長方體的三邊長，列出方程組解出．

解答 證明：（1）連結B₁D₁，則EF是△C₁D₁B₁的中位線，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$B₁D₁，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴B₁D₁=BD，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD，
∴四邊形BEFD為梯形，
∵D₁F=B₁E，D₁D=B₁B，∠DD₁F=∠BB₁E=90°，
∴△DD₁F≌△BB₁E，∴DF=BE．
∴四邊形BEFD為等腰梯形．
（2）∵C₁C⊥平面ABCD，HG?平面ABCD，
∴C₁C⊥HG，
∵C₁E=CG，C₁E∥CG，∠C₁CG=90°，
∴四邊形C₁CGE是矩形，
∴EG$\underset{∥}{=}$C₁C，同理：FH$\underset{∥}{=}$C₁C，
∴EG⊥HG，
∴四邊形EFHG為矩形．
（3）設長方體過一個頂點的三條棱長分別為x，y，z，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}}\\{{x}^{2}+{z}^{2}=^{2}}\\{{y}^{2}+{z}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2}}\\{{y}^{2}=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2}}\\{{z}^{2}=\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2}}\end{array}\right.$，
∴長方體對角線AC₁=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{2}}$．

點評 本題考查了直棱柱的結構特征，尋找平行與垂直關系是關鍵．