Question

3．已知雙曲線x²一y²=1．
（1）若直線l：y=$\frac{1}{2}$x-b交雙曲線于A，B兩點，且|AB|=$\frac{2\sqrt{35}}{3}$．求直線l方程：
（2）求以定點M（2，1）為中點的弦所在直線方程：
（3）思考以定點N（1，1）為中點＜弦存在嗎？（數(shù)形結(jié)合）

Answer 1

分析 （1）直線y=$\frac{1}{2}$x-b代入雙曲線的方程，運用韋達定理，再由弦長公式，可得直線的斜率，即可得到所求直線方程；
（2）設以定點M（2，1）為中點的弦為CD，討論斜率不存在和存在，設出直線方程，代入雙曲線的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，解得斜率，注意檢驗判別式是否大于0，即可得到所求直線方程；
（3）假設存在這樣的直線EF，運用聯(lián)立方程，由韋達定理和中點坐標公式，可得斜率，檢驗判別式是否大于0；再由圖象，觀察直線繞著定點（1，1）旋轉(zhuǎn)，所得的弦的中點是不是（1，1），即可判斷．

解答 解：（1）直線y=$\frac{1}{2}$x-b代入雙曲線的方程，可得
3x²+4bx-4b²-4=0，
即有△=16b²+12（4b²+4）＞0恒成立，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-$\frac{4b}{3}$，x₁x₂=-$\frac{4^{2}+4}{3}$，
則|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{（-\frac{4b}{3}）^{2}+\frac{16（^{2}+1）}{3}}$=$\frac{2\sqrt{35}}{3}$，
解方程可得b=±1，
即有直線方程為y=$\frac{1}{2}$x-1或y=$\frac{1}{2}$x+1；
（2）設以定點M（2，1）為中點的弦為CD，
若直線的斜率不存在，設為x=2，代入雙曲線的方程，顯然無解；
可設直線CD的方程為y=k（x-2）+1，代入雙曲線的方程可得，
（1-k²）x²-2k（1-2k）x-（1-2k）²-1=0，
△=4k²（1-2k）²+4（1-k²）[（1-2k）²-1]＞0，
x₁+x₂=$\frac{2k（1-2k）}{1-{k}^{2}}$，
由M為CD的中點，可得$\frac{2k（1-2k）}{1-{k}^{2}}$=4，
解得k=2，代入判別式，可得△＞0成立，
則所在直線方程為y=2x-3；
（3）假設存在以定點N（1，1）為中點弦EF，
若x=1，顯然不成立；
可設直線CD的方程為y=k（x-1）+1，代入雙曲線的方程可得，
（1-k²）x²-2k（1-k）x-（1-k）²-1=0，
△=4k²（1-k）²+4（1-k²）[（1-k）²-1]＞0，
x₁+x₂=$\frac{2k（1-k）}{1-{k}^{2}}$，
由M為CD的中點，可得$\frac{2k（1-k）}{1-{k}^{2}}$=2，
解得k=1，代入判別式，可得△＞0不成立，
通過圖象觀察，由于直線恒過定點（1，1），
將直線繞著定點（1，1）旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)不存在以（1，1）為中點的弦．
故不存在這樣的直線．

點評 本題考查直線和雙曲線的位置關系，考查直線方程和雙曲線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式，考查存在性問題的解法，屬于中檔題．