Question

12．給出以下四個命題：
①若集合A={x，y}，B={0，x²}，A=B．則x=1，y=0；
②若函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），則函數(shù)f（2x+1）的定義域為（-1，0）；
③f（x）=$\frac{|x|}{x}$與g（x）=$[\begin{array}{l}{1（x≥0）}\\{-1（x＜0）}\end{array}]$表示同一函數(shù)．
④若f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=2，$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+…+$\frac{f（2014）}{f（2013）}$+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$=2016
其中正確的命題有①②④（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 根據(jù)集合相等的定義及集合元素的互異性，可判斷①；
根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法，可判斷②；
根據(jù)同一函數(shù)的定義，可判斷③；
根據(jù)已知得到$\frac{f（x+1）}{f（x）}$=f（1）=2，進而可判斷④

解答 解：①若集合A={x，y}，B={0，x²}，A=B．
則x≠0，
故y=0，x²=x，
解得：x=1，y=0；
故正確；
②若函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），
由2x+1∈（-1，1）得：x∈（-1，0），
即函數(shù)f（2x+1）的定義域為（-1，0）；
故正確；
③f（x）=$\frac{|x|}{x}$中x≠0，
故f（x）=$\frac{|x|}{x}$與g（x）=$[\begin{array}{l}{1（x≥0）}\\{-1（x＜0）}\end{array}]$不表示同一函數(shù)．
故錯誤
④若f（x+y）=f（x）f（y），則f（x+1）=f（x）f（1），
則$\frac{f（x+1）}{f（x）}$=f（1）=2，
又∵f（1）=2，
∴$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+…+$\frac{f（2014）}{f（2013）}$+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$=2×1008=2016；
故正確．
故答案為：①②④

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了集合相等的定義及集合元素的互異性，抽象函數(shù)定義域的求法，同一函數(shù)的定義，難度中檔．