Question

【題目】已知A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C的下頂點(diǎn)，F為其右焦點(diǎn)點(diǎn)M是橢圓C上異于A、B的任一動點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線軸以線段AF為直徑的圓交直線AM于點(diǎn)A、N，連接FN交直線l于點(diǎn)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，且，橢圓C的離心率為．

求橢圓C的方程；

試問在x軸上是否存在一個定點(diǎn)T，使得直線MH必過該定點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

根據(jù)題意可得，解得即可；假設(shè)在x軸上存在一個定點(diǎn)，設(shè)動點(diǎn)，根據(jù)直線與直線的垂直的斜率的關(guān)系以及直線的斜率公式即可求出.

由題意得，

，，所求橢圓的方程為．

假設(shè)在x軸上存在一個定點(diǎn)，使得直線MH必過定點(diǎn)，

設(shè)動點(diǎn)，由于M點(diǎn)異于A，B，故，

由點(diǎn)M在橢圓上，故有，

又由知，，

直線AM的斜率，

又點(diǎn)N是以線段AF為直徑的圓與直線AM的交點(diǎn)，

．

直線FN的方程，

，即，

，H兩點(diǎn)連線的斜率，

將式代入式，并整理得，

又P，T兩點(diǎn)連線的斜率．

若直線MH必過定點(diǎn)，則必有恒成立，

即，

整理得，

將式代入式，

得，

解得，故直線MH過定點(diǎn)．