Question

圓M的圓心在直線y=-2x上，且與直線x+y=1相切于點(diǎn)A（2，-1），
（Ⅰ）試求圓M的方程；
（Ⅱ）從點(diǎn)P（3，1）發(fā)出的光線經(jīng)直線y=x反射后可以照在圓M上，試求發(fā)出光線所在直線的斜率取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的圓的方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）先確定出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（Ⅱ）設(shè)發(fā)出光線所在直線的斜率為k，求出發(fā)射光線所在直線的方程，再利用圓心到直線的距離不大于半徑，建立不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）由題意知：過A（2，-1）且與直線x+y=1垂直的直線方程為：y=x-3
∵圓心在直線：y=-2x上，
∴由 

y=-2x y=x-3

⇒

x=1 y=-2

即M（1，-2），且半徑r=|AO1|=

(2-1)2+(-1+2)2

=

2

，
∴所求圓的方程為：（x-1）²+（y+2）²=2．      …（6分）（得到圓心給2分）
（Ⅱ）圓M關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圓為（x+2）²+（y-1）²=2，
設(shè)發(fā)出光線為y-1=k（x-3）
化簡(jiǎn)得kx-y-3k+1=0，由

2

=

|-2k-1-3k+1|

1+k2

得k=±

46

23

，
所以發(fā)出光線所在直線的斜率取值范圍為[-

46

23

，

46

23

]．      …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，常常利用此性質(zhì)列出方程來解決問題．