Question

3．已知函數(shù)$f（x）=lg\frac{kx-1}{x-1}（k∈R）$．
（1）當k=0時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）當k＞0時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[10，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當k=0時，根據(jù)f（x）=-lg（1-x）∈R，求得它的值域．
（2）當k＞0時，由函數(shù)的解析式可得（kx-1）（x-1）＞0，分類討論k的范圍，求得x的范圍．
（3）由題意可得g（x）=$\frac{kx-1}{x-1}$=lg（k+$\frac{k-1}{x-1}$）在區(qū)間[10，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，故有k-1＜0，且k+$\frac{k-1}{9}$＞0，由此求得k的范圍．

解答 解：（1）當k=0時，對于函數(shù)$f（x）=lg\frac{kx-1}{x-1}（k∈R）$=lg$\frac{-1}{x-1}$=-lg（1-x）∈R，
由于1-x能取遍所有的正實數(shù)，故函數(shù)的值域為R．
（2）當k＞0時，f（x）=lg$\frac{kx-1}{x-1}$，由$\frac{kx-1}{x-1}$可得（kx-1）（x-1）＞0，
當k＞1時，$\frac{1}{k}$＜1，求得{x|x＜$\frac{1}{k}$，或x＞1}；
當k=1時，求得{x|x∈R且x≠1}；
當0＜k＜1時，$\frac{1}{k}$＞1，求得{x|x＞$\frac{1}{k}$，或x＜1}；
故函數(shù)f（x）的定義域為當k＞1時，定義域為{x|x＜$\frac{1}{k}$，或x＞1}；
當k=1時，定義域為{x|x∈R且x≠1}；
當0＜k＜1時，定義域為{x|x＞$\frac{1}{k}$，或x＜1}．
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[10，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
則g（x）=$\frac{kx-1}{x-1}$=lg（k+$\frac{k-1}{x-1}$）在區(qū)間[10，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴k-1＜0，且k+$\frac{k-1}{9}$＞0，求得$\frac{1}{10}$＜k＜1，
故實數(shù)k的取值范圍為（$\frac{1}{10}$，1）．

點評 本題主要考查求函數(shù)的定義域和值域，復合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．