Question

16．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，E為BC中點
（Ⅰ）證明：A₁C∥平面AB₁E
（Ⅱ）證明：AB⊥A₁C；
（Ⅲ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB=2，求直線A₁C 與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結A₁B，使A₁B∩AB₁=O，連結EO，證明：EO∥A₁C，即可證明A₁C∥平面AB₁E；
（Ⅱ）取AB的中點O，連接OC，OA₁，A₁B，由已知可證OA₁⊥AB，AB⊥平面OA₁C，進而可得AB⊥A₁C；
（Ⅲ）易證OA，OA₁，OC兩兩垂直．以O為坐標原點，$\overrightarrow{OA}$的方向為x軸的正向，|$\overrightarrow{OA}$|為單位長，建立坐標系，求出平面BB₁C₁C的法向量，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，代入向量夾角公式，可得答案．

解答 （Ⅰ）證明：連結A₁B，使A₁B∩AB₁=O，連結EO，
因為ABB₁A₁為平行四邊形，所以O為A₁B中點，
又因為E為BC中點，所以EO∥A₁C，
又因為EO?平面AB₁EA₁C?平面AB₁E，
所以，A₁C∥平面AB₁E．…（4分）
（Ⅱ）解：取AB的中點O，連接OC，OA₁，A₁B，
因為CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA₁，∠BAA₁=60°，
所以△AA₁B為等邊三角形，所以OA₁⊥AB，
又因為OC∩OA₁=O，所以AB⊥平面OA₁C，
又A₁C?平面OA₁C，故AB⊥A₁C；  …（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知OC⊥AB，OA₁⊥AB，又平面ABC⊥平面AA₁B₁B，交線為AB，
所以OC⊥平面AA₁B₁B，故OA，OA₁，OC兩兩垂直．
以O為坐標原點，$\overrightarrow{OA}$的方向為x軸的正向，|$\overrightarrow{OA}$|為單位長，建立如圖所示的坐標系，
可得A（1，0，0），A₁（0，$\sqrt{3}$，0），C（0，0，$\sqrt{3}$），B（-1，0，0），
則$\overrightarrow{BC}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面BB₁C₁C的法向量，
則$\left\{{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}}\right.$，
可取y=1，可得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，-1），
故cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$＞=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$-\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，…（10分）
∴直線A₁C 與平面BB₁C₁C所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$  …（12分）

點評 本題考查直線與平面所成的角，涉及直線與平面垂直的性質和平面與平面垂直的判定，屬中檔題．