Question

8．如圖，已知平行四邊形ABCD與直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=$\frac{1}{2}$AF，BC=$\sqrt{2}$AB，∠CBA=$\frac{π}{4}$，P為DF的中點(diǎn)．
（1）求證：PE∥平面ABCD；
（2）求平面DEF與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （I）如圖所示，取AD的中點(diǎn)M，連接MP，MB．又P為DF的中點(diǎn)．利用三角形的中位線定理可得$MP\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AF$，驗(yàn)證$BE\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AF$，可得$MP\underset{∥}{=}BE$，四邊形BMPE為平行四邊形，得到PE∥BM，可得PE∥平面ABCD；
（II）連接AC，在△ABC中，由余弦定理可得AC=AB，AC⊥AB．由平面ABCD⊥平面ABEF，可得AC⊥平面ABEF．分別以AB，AF，AC為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)AB=1，設(shè)平面DEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．取平面ABCD的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 （I）證明：如圖所示，取AD的中點(diǎn)M，連接MP，MB．又P為DF的中點(diǎn)．
∴$MP\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AF$，
又∵$BE\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AF$，
∴$MP\underset{∥}{=}BE$，
∴四邊形BMPE為平行四邊形，
∴PE∥BM，
而PE?平面ABCD，BM?平面ABCD，
∴PE∥平面ABCD；
（II）解：連接AC，在△ABC中，BC=$\sqrt{2}$AB，∠CBA=$\frac{π}{4}$，
由余弦定理可得：AC²=BC²+AB²-2BC•ABcos∠CBA=$2A{B}^{2}+A{B}^{2}-2\sqrt{2}A{B}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=AB²，
∴AC=AB，
∴△ABC是等腰直角三角形，AC⊥AB．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴AC⊥平面ABEF．
分別以AB，AF，AC為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=1，則A（0，0，0），B（1，0，0），E（1，1，0），C（0，0，1），D（-1，0，1），F(xiàn)（0，2，0）．
∴$\overrightarrow{DE}$=（2，1，-1），$\overrightarrow{DF}$=（1，2，-1）．
設(shè)平面DEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-z=0}\\{x+2y-z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=1，z=3．
∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，3）．
取平面ABCD的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），則$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{11}}$=$\frac{\sqrt{11}}{11}$．
∴平面DEF與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值為$\frac{\sqrt{11}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理，考查了通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用線面垂直的性質(zhì)定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系及平面的法向量的夾角求出二面角的方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．