Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}的首項(xiàng)都為1，且a_n+1=2a_n+1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（1）證明：{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)c_n=（-1）ⁿ（2013-

2bn-2

n

）•（a_n+1），是否存在正整數(shù)n₀≤2014，使得不等式c₀≤c_n0對(duì)任意的n∈N^*且n≤2014恒成立？若存在，求出n₀；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由an+1=2

a

n

+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），由此能證明{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知an+1=2n，從而b_n+1=b_n+n，由此利用累加法能求出bn=

n(n-1)

2

+1，c_n=（-1）ⁿ•[2013-

n(n-1)

n

]•2ⁿ=（2014-n）•（-2）ⁿ．從而2^n-2（6040-3n）＞0，由此推導(dǎo)出n₀存在，且n₀=2012．

解答： （1）證明：∵an+1=2

a

n

+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=2，
∴{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）知an+1=2n，
∴b_n+1=b_n+n，∴b_n=b_n-1+n-1，（n≥2），
∴b_n=b₁+（n-1）+（n-2）+…+1，n≥2，
又∵b₁=1，∴bn=

n(n-1)

2

+1，
∴c_n=（-1）ⁿ•[2013-

n(n-1)

n

]•2ⁿ
=（2014-n）•（-2）ⁿ．
①若n≤2014，且n為正奇數(shù)時(shí)，c_n＜0；
②若n≤2014，且n為正偶數(shù)時(shí)，c_n≥0．
令c_n-c_n-2=2ⁿ（2014-n）-2^n-2（2016-n）＞0，
∴2^n-2（6040-3n）＞0，
解得n＜

6040

3

，
又∵n為正偶數(shù)，∴{c_n}_max=c₂₀₁₂．
綜上所述，n₀存在，且n₀=2012．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加法的合理運(yùn)用．