Question

10．（I）利用向量數(shù)量積證明：對(duì)任意α，β∈R，都有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（II）利用（I）的結(jié)論，并給結(jié)合誘導(dǎo)公式證明：對(duì)任意α，β∈R，都有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

Answer 1

分析 （I）設(shè)出α、β的終邊分別與單位圓的交點(diǎn)為A、B，所以$\overrightarrow{OA}=（cosα，sinα）$、$\overrightarrow{OB}=（cosβ，sinβ）$，記$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，利用向量數(shù)量積證明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（II）利用第一問的結(jié)果，通過誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解即可．

解答 （本題滿分12分）
（I）設(shè)α、β的終邊分別與單位圓的交點(diǎn)為A、B，
所以$\overrightarrow{OA}=（cosα，sinα）$、$\overrightarrow{OB}=（cosβ，sinβ）$，
記$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=cosαcosβ+sinαsinβ$，$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=1$，…（4分）
則α=2kπ+β±θ，即α-β=2kπ±θ（k∈Z），
（或|α-β|=2kπ+θ（k∈Z）），…（6分）
$cos（α-β）=cos（2kπ±θ）=cosθ=\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}}{{|{\overrightarrow{OA}}||{\overrightarrow{OB}}|}}$=cosαcosβ+sinαsinβ，
即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．…（8分）
（II）$sin（α+β）=cos（{\frac{π}{2}-（α+β）}）=cos（{（\frac{π}{2}-α）-β）}）$…（10分）
=$cos（\frac{π}{2}-α）cosβ+sin（\frac{π}{2}-α）sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)的證明，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．