Question

6．在極坐標中，若實數(shù)ρ，θ滿足3ρcos²θ+2ρsin²θ=6cosθ，則ρ²的最大值為4．

Answer 1

分析 實數(shù)ρ，θ滿足3ρcos²θ+2ρsin²θ=6cosθ，化為$ρ=\frac{6cosθ}{co{s}^{2}θ+2}$，由于ρ是偶函數(shù)，只考慮cosθ＞0時，變形ρ=$\frac{6}{cosθ+\frac{2}{cosθ}}$，通過換元求導研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：實數(shù)ρ，θ滿足3ρcos²θ+2ρsin²θ=6cosθ，
化為$ρ=\frac{6cosθ}{co{s}^{2}θ+2}$，
由于ρ是偶函數(shù)，只考慮cosθ＞0時，
ρ=$\frac{6}{cosθ+\frac{2}{cosθ}}$，
設(shè)m=$cosθ+\frac{2}{cosθ}$，令cosθ=t∈（0，1]，
∴$m=t+\frac{2}{t}$，m′=1-$\frac{2}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-2}{{t}^{2}}$＜0，
因此函數(shù)m（t）單調(diào)遞減，當t=1時，函數(shù)m（t）取得最小值3，此時ρ取得最大值2，因此ρ²取得最大值4．
故答案為：4．

點評 本題考查了極坐標方程的應用、三角函數(shù)的單調(diào)性、換元法、利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．