Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^ax-x，其中a≠0，若對一切x∈R，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 首先對a考慮，說明a＜0不成立，只有a＞0，求出導(dǎo)數(shù)，并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求得最小值，令它不小于0，然后構(gòu)造函數(shù)g（t）=t-tlnt-1，運用導(dǎo)數(shù)求出它的最大值，運用兩邊夾法則即可求出a的值．

解答 解：若a＜0，則對一切x＞0，∵0＜e^ax＜1，
∴存在x使f（x）=e^ax-x＜0，這與題設(shè)f（x）≥0恒成立矛盾．
又a≠0，故a＞0．
而f′（x）=ae^ax-1，令f′（x）=0得x=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，
當(dāng)x＜$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，f（x）取最小值f（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-1．
于是對一切x∈R，f（x）≥0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-1≥0．①
令g（t）=t-tlnt-1，（t=$\frac{1}{a}$），
則g′（t）=-lnt，
當(dāng)0＜t＜1時，g′（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增；
當(dāng)t＞1時，g′（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=1時，g（t）取最大值g（1）=1-1=0．
∴當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{a}$=1，即a=1時，①式等號成立．
綜上所述，a的取值集合為{1}．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運用，同時考查構(gòu)造函數(shù)解題的思想，難度較大．