Question

5．若（x+$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開式中各項的系數(shù)之和為81，且常數(shù)項為a，則直線y=$\frac{a}{6}$x與曲線y=x²所圍成的封閉區(qū)域面積為$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 依據(jù)二項式系數(shù)和為3ⁿ，列出方程求出n，利用二項展開式的通項公式求出常數(shù)項a的值，再利用積分求直線y=$\frac{a}{6}$x與曲線y=x²圍成的封閉圖形的面積．

解答 解：∵（x+$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開式中各項的系數(shù)之和為81，
∴令x=1，可得3ⁿ=81，
解得n=4，
（x+$\frac{2}{x}$）⁴的展開式的通項公式為：T_r+1=C₄^r•2^r•x^4-2r，
令4-2r=0，解得r=2，
∴展開式中常數(shù)項為a=C₄²•2²=24；
∴直線y=4x與曲線y=x²所圍成的封閉區(qū)域面積為：S=${∫}_{0}^{4}$（4x-x²）dx=（2x²-$\frac{1}{3}$x³）${|}_{0}^{4}$=$\frac{32}{3}$．
故答案為：$\frac{32}{3}$．

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題，也考查了利用積分求封閉圖形的面積問題，是綜合性題目．