Question

已知函數(shù)f（x）=3^x+3^-x．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，理由為函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后求出f（-x），化簡(jiǎn)后得到其等于f（x），從而根據(jù)偶函數(shù)的定義得到此函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上為增函數(shù)，理由為：在區(qū)間[0，+∞）上任取0≤x₁＜x₂，求出f（x₁）-f（x₂），通分后，根據(jù)設(shè)出的0≤x₁＜x₂，判定其差小于0，即f（x₁）＜f（x₂），從而得到函數(shù)為增函數(shù)．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=3^x+3^-x的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且f（-x）=3^-x+3^x=f（x），
故函數(shù)f（x）=3x+3-x是偶函數(shù)．
（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[0，+∞）．證明如下：
任取x₁、x₂使得0≤x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2，x₁+x₂＞0
∴3x1-3x2＜0，3x1+x2＞1
則f（x₁）-f（x₂）=(3x1+3-x1)-(3x2+3-x2)=(3x1-3x2)+

3x2-3x1

3x1•3x2

=

(3x1-3x2)(3x1•3x2-1)

3x1•3x2

=

(3x1-3x2)(3x1+x2-1)

3x1+x2

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以，函數(shù)f（x）=3^x+3^-x在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：題考查了函數(shù)定義域及其求法，函數(shù)奇偶性的判定，以及函數(shù)單調(diào)性的判定．偶函數(shù)的判定方法為：f（-x）=f（x）且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；函數(shù)單調(diào)性的判別方法為：在定義域內(nèi)任意取兩個(gè)自變量設(shè)出其大小關(guān)系，利用作差的方法判定其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小關(guān)系，從而得到函數(shù)的單調(diào)性．