Question

已知命題p：a²+a≤0；命題q：函數(shù)f（x）=lnx+

1

2

x²-ax在定義域內(nèi)單調(diào)遞增
（Ⅰ）若命題q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若命題p為假，且“p∨q”為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：對(duì)于（Ⅰ），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，求函數(shù)的最值即可．
對(duì)于（Ⅱ），將命題轉(zhuǎn)化為解不等式組即可．

解答： 解：（Ⅰ）若命題q為真命題，即函數(shù)f(x)=lnx+

1

2

x2-ax在定義域內(nèi)單調(diào)遞增
則f′(x)=

1

x

+x-a≥0對(duì)x＞0恒成立--------（2分）
即f′(x)=

1

x

+x-a≥0在（0，+∞）上恒成立--------（4分）
得a≤x+

1

x

在（0，+∞）上恒成立∵x＞0，∴x+

1

x

≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）
∴a≤2，故a的取值范圍是（-∞，2]．
（Ⅱ） 命題p：a²+a≤0?-1≤a≤0--------（8分）
∵命題p為假，且“p∨q”為真∴p假q真--------（10分）
∴

a＜-1或a＞0 a≤2

得a＜-1或0＜a≤2∴所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）∪（0，2]--------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，命題的概念，以及不等式的解法，屬于中檔題