Question

17．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，則|2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow$，則△OAB為邊長為2的等邊三角形，利用余弦定理計算出AC即為|2$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$|．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，則$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$．
∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，
∴△OAB是邊長為2的等邊三角形，
延長OB到C，使得OC=2OB，則$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，
在△ABC中，由余弦定理得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos120°=12．
∴AC=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了平面向量線性運算的幾何意義，屬于中檔題．