Question

8．電子蛙跳游戲是：青蛙第一步從如圖所示的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁頂點A起跳，每步從一頂點跳到相鄰的頂點．
（1）直接寫出跳兩步跳到C的概率P；
（2）求跳三步跳到C₁的概率P₁；
（3）青蛙跳五步，用X表示跳到過C₁的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的概率分布．

Answer 1

分析 （1）將A標(biāo)示為0，A₁、B、D標(biāo)示為1，B₁、C、D₁標(biāo)示為2，C₁標(biāo)示為3，從A跳到B記為01，從B跳到B₁再跳到A₁記為121，其余類推．
（2）由已知條件從0到1與從3到2的概率為1，從1到0與從2到3的概率為$\frac{1}{3}$，從1到2與從2到1的概率為$\frac{2}{3}$．由此能求出跳三步跳到C₁的概率．
（3）由題設(shè)知X=0，1，2．分別求出P（X=1），P（X=2），P（X=0），由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：將A標(biāo)示為0，A₁、B、D標(biāo)示為1，B₁、C、D₁標(biāo)示為2，C₁標(biāo)示為3，從A跳到B記為01，從B跳到B₁再跳到A₁記為121，其余類推．從0到1與從3到2的概率為1，從1到0與從2到3的概率為$\frac{1}{3}$，從1到2與從2到1的概率為$\frac{2}{3}$．
（1）P=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$；                                 　　　　　　　　　　　…4′
（2）P=P（0123）=1×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$；                                 …10′
（3）X=0，1，2．P（X=1）=P（010123）+P（012123）+P（012321）
=1×$\frac{1}{3}$×1×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$+1×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$+1×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×1×$\frac{2}{3}$=$\frac{26}{81}$，P（X=2）=P（012323）=1+1×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×1×$\frac{1}{3}$=$\frac{6}{81}$，
P（X=0）=1-P（X=1）-P（X=2）=$\frac{49}{81}$
或P（X=0）=P（010101）+P（010121）+P（012101）+P（012121）
=1×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$×1+1×$\frac{1}{3}$×1×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$×1+1×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{49}{81}$，

X	0	1	2
p	$\frac{49}{81}$	$\frac{26}{81}$	$\frac{6}{81}$

…16′

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型之一，是中檔題．