Question

16．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若角$C＞\frac{π}{3}$，asin2C=bsinA，則下列結(jié)論正確的有（　　）個(gè)               
①一定是銳角三角形；
②一定是等腰三角形；
③可能是等腰直角三角形；
④可能是等邊三角形．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理、余弦定理和二倍角公式化簡已知的式子，再對(duì)化簡后式子進(jìn)行分類討論，分別判斷出△ABC的形狀．

解答 解：∵asin2C=bsinA，∴根據(jù)正弦定理得：sinAsin2C=sinBsinA，
由sinA≠0，則sin2C=sinB，
∴2sinCcosC=sinB，∴2c$•\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=b，
化簡可得：（a-c）（ac+c²-b²）=0，
∴a-c=0或ac+c²-b²=0，
①當(dāng)a-c=0且ac+c²-b²≠0時(shí)，a=c，△ABC是等腰三角形；
②當(dāng)a-c=0且ac+c²-b²=0時(shí)，a=c且a²+c²=b²，△ABC是等腰直角三角形；
③當(dāng)a-c≠0且ac+c²-b²=0時(shí)，無法判斷△ABC的形狀，
∴△ABC是等腰三角形或等腰直角三角形；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，、余弦定理和二倍角公式的應(yīng)用，考查分類討論思想，屬于中檔題．