Question

12．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），其中φ為實(shí)數(shù)且|φ|＜π，若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|對(duì)x∈R恒成立，且f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），求
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）求f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|對(duì)x∈R恒成立，結(jié)合函數(shù)最值的定義，求得f（$\frac{π}{6}$）等于函數(shù)的最大值或最小值，由此可以確定滿足條件的初相角φ的值，結(jié)合f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），求出φ的值，再根據(jù)正弦函數(shù)求出單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)題意，令f（x）=0求出方程的解即可．

解答 解：（1）若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|對(duì)x∈R恒成立，
則f（$\frac{π}{6}$）等于函數(shù)的最大值或最小值，
即2×$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
則φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
又f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），即sinφ＜0，
令k=-1，此時(shí)φ=-$\frac{5π}{6}$，滿足條件sinφ＜0，
令2x-$\frac{5π}{6}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，
解得x∈[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]．
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{3π}{3}$]．
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{5π}{6}$），
令f（x）=0，得2x-$\frac{5π}{6}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、三角函數(shù)的單調(diào)性，其中解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出滿足條件的初相角φ的值．