Question

2．在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，底面是邊長為1的正方體，E，F分別是棱B₁B，DA的中點．
（1）求證：BF∥平面AD₁E；
（2）求二面角D₁-AE-C的大�。�

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BF∥平面AD₁E．
（2）求出平面AEC的法向量和平面AD₁E的法向量，利用向量法能求出二面角D₁-AE-C的大小．

解答 證明：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
B（1，1，0），E（1，1，1），A（1，0，0），D₁（0，0，2），F（$\frac{1}{2}$，0，0），
$\overrightarrow{BF}$=（-$\frac{1}{2}$，-1，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1），
設平面AD₁E的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
∵$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{n}$=-1+1+0=0，BF?平面AD₁E，
∴BF∥平面AD₁E．
解：（2）C（0，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
設平面AEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-a+b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
又平面AD₁E的法向量$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2-1-1=0，
∴二面角D₁-AE-C的大小為90°．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．