Question

1．如圖所示，已知在圓錐SO中，底面半徑r=1，母線(xiàn)長(zhǎng)l=4，M為母線(xiàn)SA上的一個(gè)點(diǎn)，且SM=x，從點(diǎn)M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，求繩子最短時(shí)，頂點(diǎn)到繩子的最短距離$\frac{4x}{\sqrt{{x}^{2}+16}}$（用x表示）．

Answer 1

分析 算出側(cè)面展開(kāi)扇形圓心角α=90°，因此將圓錐側(cè)面展開(kāi)，可得繩子的最短長(zhǎng)度為Rt△ASM中斜邊AM的長(zhǎng)，由此利用勾股定理即可算出f（x）的表達(dá)式；由平面幾何性質(zhì)，可得繩子最短時(shí)定點(diǎn)S到繩子的最短距離等于Rt△ASM的斜邊上的高，利用三角形面積等積變換求解，可得這個(gè)最短距離的表達(dá)式．

解答 解：∵底面半徑r=1，母線(xiàn)長(zhǎng)l=4，
∴側(cè)面展開(kāi)扇形的圓心角α=90°
因此，將圓錐側(cè)面展開(kāi)成一個(gè)扇形，從點(diǎn)M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，最短距離為Rt△ASM中，斜邊AM的長(zhǎng)度
∵SM=x，SA=4
∴繩子的最短長(zhǎng)度的平方f（x）=AM²=x²+4²=x²+16．
繩子最短時(shí)，定點(diǎn)S到繩子的最短距離等于Rt△ASM的斜邊上的高，設(shè)這個(gè)距離等于d，
則d=$\frac{SM•AS}{AM}$=$\frac{4x}{\sqrt{{x}^{2}+16}}$，
故答案為$\frac{4x}{\sqrt{{x}^{2}+16}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題在圓錐的表面拉一根繩子，求繩子長(zhǎng)度的最小值．著重考查了圓錐的側(cè)面展開(kāi)、勾股定理與三角形面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．