Question

9．已知拋物線x²=4y，斜率為k的直線l過其焦點(diǎn)F且與拋物線相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（1）求直線L的一般式方程；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點(diǎn)（0，1），由斜截式方程可得直線的方程，進(jìn)而得到一般式方程；
（2）聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，消去y，可得x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到所求三角形的面積．

解答 解：（1）拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為F（0，1），
斜率為k的直線l過其焦點(diǎn)F的方程為y=kx+1，
即為kx-y+1=0；
（2）由y=kx+1代入拋物線方程x²=4y，可得：
x²-4kx-4=0，
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）可得：
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{16{k}^{2}+16}$=4（1+k²），
又O到AB的距離為d=$\frac{|0-0+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則△AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查直線方程的求法，三角形的面積的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．